Существует ли общая формула для количества различных последовательностей, созданных с помощью $x\mapsto x^\alpha \mod N$?

В зависимости от $\альфа,N,х$ последовательность $x\mapsto x^\alpha \mod N$ может иметь разную длину. Если первый элемент $x_0$ инициализируется с $x_0 = x_r^\alpha$ для случайного $x_r$ последовательность почти всегда будет иметь один и тот же постоянный размер.
Мы сосредоточимся здесь только на наиболее распространенных последовательностях с максимальным размером $N_L$ (для данного $\альфа,N$).

В зависимости от выбранного $x_0$ это может привести к различным непересекающимся последовательностям с тем же максимальным размером последовательности.

Вопрос: Есть ли какая-то общая формула для вычисления количества этих последовательностей (для заданного $\альфа,N$)?

Изменить: опубликованный и принятый ответ не ответил на этот вопрос, но был очень полезен.
Ответ на этот вопрос по-прежнему приветствуется. (окончание редактирования)

Пока возился, я уже нашел формулу для некоторых $N, \альфа$ особого строения. Длина цикла $\альфа$ по модулю некоторых простых множителей $\фи(N)$ а также факторы $\фи(\фи(N))$ кажется, имеют некоторое влияние на этот счет.
Это также связано с количеством различных значений $N_{\alpha}=|\{x^\alpha \bmod N\}|$ и максимальная длина этой последовательности $N_L$.

За $N_\альфа$ он получил ответ в другом нить. Если $N$ является произведением уникальных простых множителей: $$N = \prod_{i=1}^n p_i$$ Количество различных значений $N_\альфа$ было бы $$N_{\alpha} =\prod_{i=1}^n\left(1+\frac{p_i-1}{\mathrm{gcd}(\alpha,p_i-1)}\right)$$ За $N_L$ Я только составил некоторые уравнения, которые действительно работают для некоторых $N, \альфа$. Общая формула также приветствуется.
Оба вместе могут привести к приблизительному количеству последовательностей.

Побочный вопрос: есть ли у этих последовательностей особое имя? Это и другие свойства где-то описаны (в компактной форме)?

Цель $N$ также будет $2$,$3$ или же $4$ нечетные уникальные простые множители.