Регистрация Войти
Рейтинг:6
LinusK avatar Crypto

Почему проблема с дискретным логарифмом сложна?

флаг de
LinusK

Почему задача дискретного логарифмирования считается сложной?

Кто-то еще задал тот же вопрос но ответы только объясняют, что возведение в степень находится в $ О (\ журнал (п)) $ в то время как самые быстрые известные алгоритмы для вычисления дискретных логарифмов находятся в $ О (п) $. (Я опускаю здесь такие детали, как время выполнения индексного исчисления.)

Где-то еще я прочитал: «Мы считаем дискретные логарифмы сложными, потому что более 40 лет очень умные люди не могли найти быстрый алгоритм».

Теперь мне интересно, есть ли аргументы получше. Можете ли вы объяснить, почему дискретные логарифмы сложны?

1417
0 + 0
kelalaka avatar
флаг in
kelalaka
[Дискретный логарифм: учитывая p, что значит найти дискретный логарифм x по основанию y?] (https://crypto.stackexchange.com/q/76230/18298)
2
Ответить
WizardOfMenlo avatar
флаг ph
WizardOfMenlo
Небольшое замечание: на самом деле вы можете вычислить дискретный журнал (в общей группе) в $O(\sqrt{n})$ групповых операциях (используя, например, Pollard Rho). См., например, раздел 5.5 «Введение в математическую криптографию».
0
Ответить
Рейтинг:15
poncho avatar Crypto
флаг my
poncho

Теперь мне интересно, есть ли аргументы получше.

В конце концов, нет, не совсем так.

У нас нет никаких доказательств того, что вычисление дискретных журналов сложно. Если на то пошло, у нас нет никаких доказательств того, что какая-либо проблема внутри $НП$ (то есть любая проблема, где, если ответ «да», есть быстро проверяемое доказательство этого), сложна.

У нас есть некоторые частичные доказательства, например, что в модели «черного ящика» дискретный журнал для группы простого порядка является трудным. С другой стороны, известно, что сделанные предположения неверны для конечных полей, и поэтому они менее полезны, чем можно было бы надеяться.

0 + 0
LinusK avatar
флаг de
LinusK
Не могли бы вы, например, возразить, что при возведении в степень каждый из квадратов $\log(n)$ удаляет часть информации, потому что $x \cdot x == -x \cdot -x$?
0
Ответить
poncho avatar
флаг my
poncho
@LinusK: не совсем; если $g$ имеет порядок $q$, то $g^x$ для $x \in \{0,...,q-1\}$ является инъективным, то есть не теряет *никакой* информации . Таким образом, хотя общий подшаг реализации (возведение в квадрат) может привести к потере информации, в целом потери информации не происходит.
4
Ответить
LinusK avatar
флаг de
LinusK
Но если $\mathbb{F}_p$ с $p=2q+1$ и $g$ имеет порядок $q$, то $g^x$ для $\{0,...,p-1\}$ не является инъективным. И если $g^{x_1} == g^{x_2}$ для некоторого $x_1 \neq x_2$, то оба младших бита $x_1$ и $x_2$ (хардкорные биты) должны быть разными. Вот почему я подумал, что должна быть некоторая потеря информации.
0
Ответить
poncho avatar
флаг my
poncho
@LinusK: однако в этом случае $x_1 \equiv x_2 \pmod q$; следовательно, по сути, есть только одно решение (знание которого сразу дает вам все остальные)
3
Ответить
флаг sh
Paŭlo Ebermann
Что такое «жесткая группа»?
0
Ответить
poncho avatar
флаг my
poncho
@PaÅloEbermann: извините, я изменил то, как я хотел выразить это, когда писал, и остался дополнительный «жесткий». Имеет ли редактирование больше смысла?
0
Ответить
флаг sa
K.G.
Кроме того, общая групповая модель не охватывает квантовые вычисления, что также делает ее менее полезной, чем хотелось бы.
0
Ответить
poncho avatar
флаг my
poncho
@KG: достаточно верно - хотя (я считаю) алгоритм Шора может работать в реализации запутанной группы черного ящика, это другая вычислительная модель ...
0
Ответить
флаг Moldova
Admin
Этот вопрос на других языках:

Ответить или комментировать

Большинство людей не понимают, что склонность к познанию нового открывает путь к обучению и улучшает межличностные связи. В исследованиях Элисон, например, хотя люди могли точно вспомнить, сколько вопросов было задано в их разговорах, они не чувствовали интуитивно связи между вопросами и симпатиями. В четырех исследованиях, в которых участники сами участвовали в разговорах или читали стенограммы чужих разговоров, люди, как правило, не осознавали, что задаваемый вопрос повлияет — или повлиял — на уровень дружбы между собеседниками.