Результаты двойственности для некоторых модульных решеток

Позволять $R$ кольцо целых чисел кругового поля $\mathbb{Q}(\zeta_n)$, куда $n$ является степенью двойки, и $\boldsymbol{a} \in R_{q}^{m}$, за $м\в\mathbb{Z}^+$, $q\in\mathbb{Z}_{\geq2}$ основной. Определите следующее $R$-модули, где $I$ является идеалом $R_{q} = R/qR$: $$ \begin{собранный} \boldsymbol{a}^{\perp}(I):=\left\{\left(t_{1}, \ldots, t_{m}\right) \in R^{m}: \forall i,\ влево(t_{i} \bmod q\right) \in I \text { и } \sum_{i} t_{i} a_{i}=0 \bmod q\right\}, \ L(\boldsymbol{a}, I):=\left\{\left(t_{1}, \ldots, t_{m}\right) \in R^{m}: \exists s \in R_{q }, \forall i,\left(t_{i} \bmod q\right)=a_{i} \cdot s \bmod I\right\}. \end{собранный} $$ Идеалы $R_{q}$ можно записать в виде $I_{S}:=\prod_{i \in S}\left(x-\zeta_n^{i}\right) \cdot R_{q}=\left\{a \in R_{q}: \forall я \in S, a\left(\zeta_n^{i}\right)=0\right\}$, куда $S$ любое подмножество $\{1, \ldots, n\}$ ( $\zeta_n^{i}$являются корнями $\Phi_n$ по модулю $q$ ). Определять $I_{S}^{\times}=\prod_{i \in S}\left(x-{\zeta_n^{i}}^{-1}\right) \cdot R_{q}$.

Авторы этого бумага то докажите (лемма 7): пусть $S \subseteq\{1, \ldots, n\}$ и $\boldsymbol{a} \in R_{q}^{m}$. Позволять $\bar{S}=\{1, \ldots, n\} \обратная косая черта S$ и $\boldsymbol{a}^{\times} \in$ $R_{д}^{м}$ определяться $a_{i}^{\times}=a_{i}\left(x^{-1}\right)$. Затем, с $\широкая шляпа{\cdot}$ обозначая двойственность решетки: $$ \widehat{\boldsymbol{a}^{\perp}\left(I_{S}\right)}=\frac{1}{q} L\left(\boldsymbol{a}^{\times}, I_{ \bar{S}}^{\times}\right). $$ Мой вопрос: в то время как сдерживание $\frac{1}{q} L\left(\boldsymbol{a}^{\times}, I_{\bar{S}}^{\times}\right)\subset \widehat{\boldsymbol{a} ^ {\ перп} \ влево (I_ {S} \ вправо)} $ мне ясно, я не могу доказать обратное направление $\widehat{\boldsymbol{a}^{\perp}\left(I_{S}\right)}\subset\frac{1}{q} L\left(\boldsymbol{a}^{\times}, I _ {\ bar {S}} ^ {\ times} \ right) $. Как достигается результат?