Выражение $\{к|\Дельта х[к]=1\}$ следует читать как «совокупность $к$ так что $к$й бит $\Дельта х$ установлено". Отсюда следует, что $\ell_1$ это самая правая битовая позиция, где два $х$ значения различаются и $\ell_2$ это крайняя правая позиция, где два $у$ значение отличается. Отсюда также следует, что два $х$ значения и два $у$ значения совпадают во всем $\ell-1$ позиции справа от $\ell$позиция.
Элементарное сложение говорит нам о том, что $\ell-1$ крайние правые биты $z$ зависеть только от $\ell$ крайние правые биты $х$ и $\ell$ крайние правые биты $у$, так что для двух сложений, где эти биты идентичны, $\ell-1$ крайние правые биты ответов идентичны. Следовательно $\Дельта z[k]=0$ за $k<\ell$.
В случае, когда $\ell_1=\ell_2$, вычисление $\ell$й бит задается
$$z[\ell]=x[\ell]\oplus y[\ell]\oplus c[\ell-1]$$
куда $c[\ell-1]$ является битом переноса. Этот бит переноса одинаков в обоих случаях, но мы заменяем другие термины на $x[\ell]\oplus 1$ и $y[\ell]\oplus 1$ так что $z[\ell]$ не меняется (т. $\Дельта z[\ell]=0)$. В случае $\ell=\ell_1\neq\ell_2$ бит для переноски остается прежним, и мы производим только замену $x[\ell]\oplus 1$ так что $z[\ell]$ переворачивается (т. $\Дельта z[\ell]=1$). Аналогично в случае $\ell=\ell_2\neq\ell_1$ мы делаем замену $y[\ell]\oplus 1$ так что снова $\Дельта z[\ell]=1$.
