Рейтинг:1

Свойства групп билинейного спаривания?

флаг mp

Я наткнулся на эту правильность схемы:

$e(g^r, H(id)^x) = e(g^x, H(id))^r = e(g^x, H(id))^r$

и с трудом следят за свойствами билинейного спаривания. Кто-нибудь знает "правила" таких пар или где о них почитать?

Насколько я знаю, я знаю, что:

$e(g^{xy}, g) = e(g,g)^{xy} = e(g^x, g^y)$

но коммутируют ли эти свойства, и как правильно приведенная выше схема правильности?

Morrolan avatar
флаг ng
Второе и третье слагаемые в равенстве цитируемого вами доказательства правильности идентичны - я подозреваю, что у вас может быть опечатка.
Рейтинг:3
флаг ng

В криптография на основе пар, билинейные пары обычно определяются следующим образом:

Позволять $G_1, G_2, G$ — конечные циклические группы одного порядка. Тогда билинейное спаривание является картой $e : G_1 \times G_2 \стрелка вправо G$ билинейный, то есть: $$ е (р ^ а, д ^ б) = е (р, д) ^ {аб} $$

Часто также подразумевается или требуется, чтобы:

  • $е$ не является тривиальной парой, которая отображает все входы в нейтральный элемент $G$
  • У нас есть способ вычислить $е$ 'эффективно'
  • если $g_1$ является генератором $G_1$, и $g_2$ из $G_2$, тогда $е(г_1, г_2)$ является генератором $G$
  • В некоторых контекстах $G_1 = G_2$ используется, то есть $е$ будет иметь вид $e : G_1 \times G_1 \стрелка вправо G$.

Таким образом, неформально билинейное спаривание позволяет «вытащить» показатели (при условии мультипликативной записи) своих входов.

Доказательство правильности, которое вы цитируете, прямолинейно, тогда: $$ \начать{выравнивать} e(g^r,H(id)^x) & = e(g, H(id))^{rx} & \text{билинейность} \ & = e(g, H(id))^{xr} & \text{ коммутативность} \ & = e(g^x, H(id)^r) & \text{билинейность} \end{выравнивание} $$

Вы можете найти приличное (как мне кажется) введение в криптографию на основе пар в эти слайды лекций Джона Бетанкура.

Aman Grewal avatar
флаг gb
Утверждение $G_1 = G_2$ может ввести в заблуждение некоторых начинающих пользователей. В большинстве реализаций они рассматриваются как разные группы.
Morrolan avatar
флаг ng
@AmanGreval А, это интересно.Большая часть моего воздействия была связана с несколькими статьями с пороговыми настройками, выпущенными несколько лет назад, которые обычно использовали $G_1 = G_2$. Я немного переформулировал вышеизложенное, чтобы быть менее категоричным в этом.
Aman Grewal avatar
флаг gb
По моему опыту, вы используете пары, где $G_1, G_2 \подмножество G$.Спаривание может быть четко определено для всех $G \times G$, но библиотеки реализуют только полезные части (для скорости или простоты хэширования в кривую).
Rory avatar
флаг mp
Спасибо @Morrolan !!

Ответить или комментировать

Большинство людей не понимают, что склонность к познанию нового открывает путь к обучению и улучшает межличностные связи. В исследованиях Элисон, например, хотя люди могли точно вспомнить, сколько вопросов было задано в их разговорах, они не чувствовали интуитивно связи между вопросами и симпатиями. В четырех исследованиях, в которых участники сами участвовали в разговорах или читали стенограммы чужих разговоров, люди, как правило, не осознавали, что задаваемый вопрос повлияет — или повлиял — на уровень дружбы между собеседниками.