Рейтинг:2

Для любых чисел $a, b$, какие операторы $X, Y$ такие, что выявление $a\ X\ b$ и $a\ Y\ b$ не раскрывает информацию о $a,b$?

флаг in

Ранее Я подумал о паре 8-битных равномерно распределенных случайных чисел $(а,б) \in \{0,1\}^8$, и $Х$ быть побитовым XOR, $Y$ быть 8-битным дополнением. Но оказалось, что раскрытие $a \text{ XOR } b, a+b \bmod{2^8}$ раскрывает много информации о $а,б$.

вот умный чувак упомянул «зависимость» как свойство. Итак, я думаю, я ищу независимых операторов? Или, по крайней мере, операторы, которые независимы, когда их входные данные — случайные числа?

Мои вопросы:

  • Как далеко мы можем зайти в минимизации объема информации, $а\Х\б$ и $а\у\б$ дать о $а,б$?
  • Можем ли мы математически доказать какие-либо ограничения? Например. доказывая, что если $а,б$ равномерные случайные числа, то если $Х$ это ... и $Y$ это ..., то это должно быть так $а\Х\б$ и $а\у\б$ не может дать больше, чем $х$ биты информации о $а,б$?
fgrieu avatar
флаг ng
Если $X$ (соответственно $Y$) может принимать значения $u$ (соответственно $v$) по полному набору своих двух аргументов, то $a\ X\ b$ и $a\ Y\ b$ вместе не может принимать более $u\,v$ значений, поэтому не может раскрыть более $\log_2(u\,v)$ бит информации. Возможна лучшая оценка для некоторого выбора $X$ и $Y$, делающего значения "зависимыми", но я не знаю, как охарактеризовать это лучше, чем определить зависимость как разницу между этой границей и фактическим объемом информации. раскрыто,
caveman avatar
флаг in
@fgrieu - Пытаюсь понять: если мы будем иметь дело только с 8-битными переменными, будет ли это означать, что $u=v=8$? Кроме того, есть идеи, как доказать привязку $\log_2(uv)$? Большое спасибо.
fgrieu avatar
флаг ng
$u$ и $v$ зависят от $X$ и $Y$. Если мы определим $a\X\b$ и $a\Y\b$ равными 42 независимо от $a$ и $b$, то $u=v=1$, $\log_2(u\,v)$ равно $0$, и, таким образом, эта верхняя граница говорит нам, что информация о $a$ и $b$ не раскрывается. Обратите внимание, что когда $a\ X\ b $ и $a\ Y\ b $ непостоянны, но равны независимо от $a$ и $b$, мы имеем $u=v>1$, оценка $\log_2( u\,v)$ выполняется, но свободна. Доказательство границы $\log_2(u\,v)$: переменная, принимающая значения $w$, не может дать больше, чем $\log_2(w)$ бит информации, а для $(X,Y)$ получаем не более $w=u\,v$ значений.
fgrieu avatar
флаг ng
Мне интересно: рассматриваете ли вы «количество информации, которую $a\X\b$ и $a\Y\b$ дают о $a,b$» (которая всегда может быть до 16 бит, предполагая, например, $ a\ X\ b$ возвращает $a$, а $a\ Y\ b$ возвращает $b$), или количество информации, которое $a\ X\ b$ и $a\ Y\ b$ дают об одном из $a$ или $b$, а другое считается случайным и неизвестным (очевидно, что оно не может превышать 8 бит)?
caveman avatar
флаг in
@fgrieu Бывший. Оба $a,b$ должны быть максимально секретными. Я пытаюсь выяснить, как далеко можно зайти с операторами $X,Y$ с точки зрения минимизации утечки информации из $a,b$. Я понимаю, почему $\log_2(uv)$ является слабой максимальной границей (потому что это максимальная информация, содержащаяся в множестве уникальных чисел $uv$).
Рейтинг:2
флаг sa

Возможна утечка нулевой информации. Предположим, что равномерно распределены $а$ и $б$ и разреши $а$ различаются по рядам и $б$ по столбцам операционных таблиц ниже:

$$ \begin{массив}{ccc} \begin{массив}{c|cccc} X & 0&1&2&3\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \ 1 & 1&2&3&0 \ 2 и 2&3&0&1 \ 3 и 3&0&1&2 \end{массив} & \quad & \begin{массив}{l|cccc} Y & 0&1&2&3\ \hline 0 и 3&0&1&2 \ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \ 2 & 1&2&3&0 \ 3 и 2&3&0&1 \конец{массив} \конец{массив} $$

Обратите внимание, что для каждой операции, зная вывод ($aXb$ или же $aYb$) вообще не дает никакой информации о $а$. То же самое относится и к $б$. Но если вы знаете один из $а$ или же $б$ тогда вы знаете другого однозначно.

Кроме того, скажем $aXb=0.$ Возможные пары $(а,б)$ сейчас в наборе $$ S=\{(0,0),(1,3),(2,2),(3,1)\}. $$

Предполагая отсутствие ошибок при вычислении операции, единственная возможность для $aYb$ является $aYb=3$ и это дает Никакой дополнительной информации о возможных парах в $S$.

Вы можете сказать, что это странный пример, но он демонстрирует, что минимум может быть равен нулю для каждой отдельной входной переменной.

И последнее замечание, так как я точно не знаю ваших требований. Можно удвоить длину вывода в битах, гарантируя даже знание одного из $а$ или же $б$ не дает никакой информации о другом. Выход $2X3=12$ будет соответствовать выходному битовому шаблону $0110$ с $01=1,$ и $10=2.$ Вот пример ниже:

$$ \begin{массив}{c|cccc} X & 0&1&2&3\ \hline 0, 00, 11, 22, 33 \ 1 и 13&02&31&20 \ 2 и 21&30&03&12 \ 3 и 32 и 23 и 10 и 01 \конец{массив} $$ Теперь позвольте нам сказать, что вы знаете, что $а=1.$ Это ограничивает вас вторым рядом операционного стола, но $б$ все еще совершенно не определено, вы знаете ничего такого о стоимости $б.$

В этом примере используются два MOLS (взаимно ортогональные латинские квадраты).

caveman avatar
флаг in
_Поразительно-полная-поражающая-великолепность_. Это чистая слава. Большое спасибо. Однако я не получаю двойную битовую длину: если $aXb = 12$, не будет ли тривиальным поиском увидеть, что это должно быть $a=2, b=3$? т.е. оба $a,b$ выставлены? Может быть, я упускаю что-то фундаментальное?
kodlu avatar
флаг sa
В теоретико-информационной модели утечки информации мы наблюдаем определенные переменные и спрашиваем о неопределенности в отношении других переменных, как только это значение становится известным. Итак, мы наблюдаем, например, $aXb$ и спрашиваем о $a$, или $b$, или $a,b$ и о том, и о другом. В качестве альтернативы мы наблюдаем $a$ и $aXb$ и спрашиваем о $b$. Кроме того, если мы применим модель к большему набору в криптографическом контексте, грубая сила невозможна.
caveman avatar
флаг in
Я просто не могу прочитать последнюю таблицу. $2X3 = 12$, верно? Но в вашем тексте написано $1X2=12$?
kodlu avatar
флаг sa
см. редактирование для уточнения

Ответить или комментировать

Большинство людей не понимают, что склонность к познанию нового открывает путь к обучению и улучшает межличностные связи. В исследованиях Элисон, например, хотя люди могли точно вспомнить, сколько вопросов было задано в их разговорах, они не чувствовали интуитивно связи между вопросами и симпатиями. В четырех исследованиях, в которых участники сами участвовали в разговорах или читали стенограммы чужих разговоров, люди, как правило, не осознавали, что задаваемый вопрос повлияет — или повлиял — на уровень дружбы между собеседниками.