Учитывая следующие определения для $\mathbb{Z}[x] /\влево(x^{n}-1\вправо)$:
$$
a \cdot b \equiv \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i +j}+\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=n-j}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i+j-n}\ влево(\bмод х^{п}-1\вправо)
$$
Точно так же для $\mathbb{Z}[x] /\влево(x^{n}+1\вправо)$ умножение определяется как
$$
a \cdot b \equiv \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i +j}-\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{i=n-j}^{n-1} a_{i} \cdot b_{j} \cdot x^{i+j-n}\ влево(\bмод х^{п}+1\вправо)
$$
Детали примеров: Пусть $а(х) = х^{2} + 2х + 3$ и $b(х) = х^{2} + х$
Следующие примеры взяты из опубликованной работы. Предполагая, что автор использовал приведенные выше формулы для правильного вычисления окончательных сумм:
Пример 1 говорит, что: В $\mathbb{Z}[х]/(х^{3} - 1)$ результирующие суммы из первой формулы имеют вид $(5x^{2} + 3x) + (x + 3) = 5x^{2} + 4x + 6$.
Вопрос 1: Как получить 6 в окончательном ответе? не должно быть
$5x^{2} + 4x + 3$? так как $\mathbb{Z}[x]$ означает, что мы работаем с полиномами в $х$ коэффициенты которого определены над $\mathbb{Z}$, множество всех целых чисел.
Пример 2: В $\mathbb{Z}[х]/(х^{3} + 1)$ результирующие суммы из второй формулы равны $(5x^{2} + 3x) - (x + 3) = 5x^{2} + 2x$.
Вопрос 2: Точно так же, если полученный ответ не будет $5x^{2} + 2x - 3$ так как есть ограничение на коэффициенты (например, мы не работаем в $\mathbb{Z}_q$ для некоторых указанных $q$).
