|ЮАР| Нормально ли, что $\phi(n)$ работает как модуль RSA?

Итак, я случайно практиковал RSA на бумаге для экзамена, я выполнил весь процесс, описанный ниже, и когда я попробовал шифрование и дешифрование, я отвлекся и вместо того, чтобы делать $м^е\мод п$

Я сделал $ м ^ е \ мод {\ фи (п)} $ и расшифровка, и шифрование работали. Это нормально?

Вот цифры: $$ р = 11\ ц = 23\ n = (p\cdot q) = (7 \cdot 23) = 253\ \phi(n) = (p-1) \cdot (q-1) = 220\ е = 7\ д = 63\ $$ Я получил d, используя расширенный алгоритм Евклида: $$ НОД(220, 7)\ 220 = 7*31+3\ 7 = 3*2+1\ $$ $$ 1 = 7 + 3(-2)\\ 1 = 7 + (220 + 7(-31))(-2)\\ 1 = 7(63) + 220(-2)\\ $$

В общем случае пара показателей расшифровки RSA, рассчитанная таким образом для модуля $N$ также будет работать для любого модуля $ млн $ что удовлетворяет $\лямбда(М)|\фи(Н)$ куда $\лямбда$ это Функция Кармайкла.

В вашем примере $М=\фи(Н)=220$ и $\lambda(M)=\mathrm{lcm}(\phi(4),\phi(5),\phi(11))=\mathrm{lcm}(2,4,10)=20$ действительно разделяет $\фи(N)=220$. Такому стечению обстоятельств помогло то, что 11 делит $\фи(23)$. В общем случае, если модуль RSA $pq$ имеет $p|q-1$ тогда $\фи(р)|\фи(\фи(д))$ и это здорово помогает.

Такое явление менее вероятно, когда $p-1$ и $q-1$ имеют большие простые делители. Однако должна быть возможность построить другие примеры, выбрав $р$ и $q$ куда $p-1$ и $q-1$ не делятся ни на какие большие простые числа, но делятся на все малые степени простых чисел.